Structures latticielles, correspondances de Galois contraintes et classification symbolique

This thesis is in the field of the latticial analysis of data in the situation, very general, whereobjects of various nature are described by variables of various types ; one makes simply theassumption (realistic) according to which each variable takes his values in a lattice. The problemsof processing of such data (extraction of knowledge) often amount seeking to obtain Moorefamilies of a particular type, for example arborescent, and thus to impose structural constraints.Within this framework, we study initially particular Moore families, hierarchies, of which wecharacterize the implicational canonical basis. With this intention, we introduce a new type ofbinary relations on subsets of a set, called overhanging relations. We put them in a one-to-onecorrespondence with unspecified Moore families, establish their bond with one of the arrowrelations, and reconsider their properties in the hierarchical case, where they initially appeared.In one second part, we are interested in the Galois connection associated with a binary table (towhich data of the type indicated above can always be brought back). We examine the constraintsthen to be imposed on a binary table so that closed sets obtained belong to prescribed Moorefamilies, or of desired type. We then obtained some binary relations called biclosed. Given twoclosure spaces (E, φ) and(E, φ), a relation is biclosed if any line of its matric representationcorresponds to a closed set by φ, and any column with a closed set by φ. We establish anisomorphism between the set of biclosed relations and that of Galois connections between thetwo lattices of closed sets induced by φ and φ. In the finite case, we deduce some effectivealgorithms for the adjustment of a Galois connection to an unspecified mapping between twolattices, or for the calculation of the join of two polarities.In a third part, we apply the preceding results to the study of the introduction of classifyingconstraints to a data table. We reconsider various uses of Galois connections (or the couplesresiduated / residual mappings) in models and methods of classification. Those are revisited inthe optics of a unified frame based on bicloseds, and, by taking of account the results of the firstpart, differents ways are traced for definition of new methods.These parts are preceded by a synthesis on lattices and Galois connections.Key wordsBiclosed, Binary Relation, Closure, Hierarchy, Implication, Lattice, Moore family, Overhanging. RésuméLa thèse se situe dans le domaine de l’analyse latticielle de données dans la situation, trèsgénérale, où des objets de nature diverse sont décrits par des variables de types divers ; on faitsimplement l’hypothèse (réaliste) selon laquelle chaque variable prend ses valeurs dans un treillis.Les problèmes de traitement de telles données (extraction de connaissance) reviennent souventà chercher à obtenir des familles de Moore de type particulier, par exemple arborescent, et doncà imposer des contraintes structurelles.Dans ce cadre, nous étudions d’abord les familles de Moore particulières que sont les hiérarchies,dont nous caractérisons la base canonique d’implications. Pour ce faire, nous introduisons un nou-veau type de relations binaires sur les parties d’un ensemble, appelées relations d’embôıtement.Nous les mettons en correspondance bi-univoque avec les familles de Moore quelconques, leurlien avec l’une des relations flèche, et revenons sur leurs propriétés dans le cas hiérarchique, oùelles sont d’abord apparues.Dans une seconde partie, nous nous intéressons à la correspondance de Galois associée à untableau binaire (auquel les données du type indiqué ci-dessus peuvent toujours être ramenées).Nous examinons alors les contraintes à imposer à un tableau binaire pour que les fermés obtenusappartiennent à des familles de Moore prescrites, ou de type voulu. On obtient alors des relationsbinaires dites bifermées. Étant donnés deux espaces de fermeture (E, φ) et(E, φ), une relationest bifermée si toute ligne de sa représentation matricielle correspond à un fermé par φ, ettoute colonne à un fermé parφ. Nous établissons l’isomorphisme entre l’ensemble des relationsbifermées et celui des correspondances de Galois entre les deux treillis de fermés induits par φ etφ. Dans le cas fini, on en déduit des algorithmes efficaces pour l’ajustement d’une correspondancede Galois à une application quelconque entre deux treillis, ou pour le calcul du supremum dedeux polarités.Dans une troisième partie, nous appliquons les résultats précédents à l’étude de l’introductionde contraintes classificatoires sur un tableau de données. Nous revenons sur divers usages descorrespondances de Galois (ou des couples application résiduée / résiduelle) dans les modèles etles méthodes de la classification. Ceux-ci sont revisités dans l’optique d’une présentation unifiéefondée sur les bifermées, et, en prenant en compte les résultats de la première partie, des voiessont tracées pour la définition de nouvelles méthodes.Ces parties sont précédées d’une synthèse sur les treillis et les correspondances de Galois.Mots clésBifermée, Embôıtement, Famille de Moore, Fermeture, Hiérarchie, Implication, Relation binaire,Treillis.